1. Reordenamiento:
Trasladamos todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad:
$$ a^4 - a^3b + b^4 - ab^3 \ge 0 $$

2. Factorización por agrupación:
Agrupamos los términos convenientemente:
$$ (a^4 - a^3b) - (ab^3 - b^4) \ge 0 $$
Extraemos el factor común en cada paréntesis:
$$ a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0 $$
Ahora extraemos el factor común $(a - b)$:
$$ (a - b)(a^3 - b^3) \ge 0 $$

3. Aplicación de la diferencia de cubos:
Recordamos que $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Sustituimos:
$$ (a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) \ge 0 $$
$$ (a - b)^2 (a^2 + ab + b^2) \ge 0 $$

4. Análisis de signos:

• $(a - b)^2 \ge 0$ por ser una potencia par.


• $a^2 + ab + b^2$ es siempre $\ge 0$ (demostrado en el ejercicio 227).

Al ser el producto de dos factores no negativos, el resultado es siempre mayor o igual a cero.

$$ \boxed{a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3} $$