El objetivo es transformar la expresión en una suma de cuadrados, ya que sabemos que cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero.

1. Expandir y reorganizar términos:
$$ a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2a + 2b + 2c $$
Llevamos todo al miembro izquierdo:
$$ a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 \ge 0 $$

2. Completar cuadrados perfectos:
Podemos descomponer el número $3$ como $1 + 1 + 1$ para agruparlo con cada variable:
$$ (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \ge 0 $$

3. Factorizar los trinomios cuadrados perfectos:
Utilizando la identidad $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$:
$$ (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0 $$

4. Conclusión pedagógica:
Como los términos $(a - 1)^2$, $(b - 1)^2$ y $(c - 1)^2$ son cuadrados de números reales, su valor mínimo es $0$. Por lo tanto, la suma de tres cantidades no negativas siempre será mayor o igual a cero.

$$ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c) \text{ es siempre verdadera}} $$