Para resolver esta demostración, trasladaremos todos los términos a un solo miembro para facilitar la factorización.

1. Reorganización de la desigualdad:
$$ a^3 - a^2 - a + 1 \ge 0 $$

2. Factorización por agrupación:
Agrupamos los términos de dos en dos:
$$ (a^3 - a^2) - (a - 1) \ge 0 $$
Factorizamos el término común $a^2$ en el primer paréntesis:
$$ a^2(a - 1) - 1(a - 1) \ge 0 $$
Extraemos el factor común $(a - 1)$:
$$ (a^2 - 1)(a - 1) \ge 0 $$

3. Aplicación de diferencia de cuadrados:
Recordamos que $a^2 - 1 = (a + 1)(a - 1)$:
$$ (a + 1)(a - 1)(a - 1) \ge 0 $$
$$ (a + 1)(a - 1)^2 \ge 0 $$

4. Análisis de la condición dada ($a \ge -1$):

• El término $(a - 1)^2$ siempre es mayor o igual a cero para cualquier valor real de $a$.
• El término $(a + 1)$ será mayor o igual a cero siempre que $a \ge -1$.

Dado que el producto de dos números no negativos es no negativo:
$$ \boxed{a^3 + 1 \ge a^2 + a \text{ es válida para } a \ge -1} $$