Para demostrar la desigualdad, analizaremos la diferencia entre los dos miembros de la inecuación. Si la diferencia es positiva, la desigualdad quedará demostrada.

1. Identificación y factorización de denominadores:
Observamos que los denominadores son productos notables conocidos:

• $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$ (Trinomio cuadrado perfecto)
• $a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$ (Diferencia de cubos)

2. Planteamiento de la diferencia:
Sea $D$ la diferencia entre el miembro izquierdo y el derecho:
$$ D = \frac{1}{(a - 2)^2} - \frac{2}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} $$

3. Operación con fracciones (mínimo común múltiplo):
El $m.c.m.$ de los denominadores es $(a - 2)^2(a^2 + 2a + 4)$.
$$ D = \frac{(a^2 + 2a + 4) - 2(a - 2)}{(a - 2)^2(a^2 + 2a + 4)} $$
$$ D = \frac{a^2 + 2a + 4 - 2a + 4}{(a - 2)^2(a^2 + 2a + 4)} $$
$$ D = \frac{a^2 + 8}{(a - 2)^2(a^2 + 2a + 4)} $$

4. Análisis de signos:
Para que $D > 0$, debemos verificar los signos de cada factor:

• $a^2 + 8$: Siempre es positivo para cualquier valor real de $a$ ($a^2 \ge 0$).
• $(a - 2)^2$: Siempre es positivo dado que $a \neq 2$.
• $a^2 + 2a + 4$: Analizamos su discriminante ($\Delta = 2^2 - 4(1)(4) = -12$). Al ser el discriminante negativo y el coeficiente principal positivo, la parábola siempre está por encima del eje $x$, es decir, $a^2 + 2a + 4 > 0$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Como todos los términos son positivos, la diferencia $D$ es mayor que cero.

$$ \boxed{\frac{1}{a^2 - 4a + 4} > \frac{2}{a^3 - 8} \text{ es verdadera para } a \neq 2} $$