1. Análisis de la expresión:
Buscamos demostrar la validez de la desigualdad bajo la condición $a+b \geq 0$. Nótese que $a$ y $b$ no necesariamente son ambos positivos, pero su suma sí lo es.

2. Manipulación algebraica:
Agrupamos todos los términos en un solo miembro para analizar el signo de la expresión:
$$ \frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \geq 0 $$
Buscamos el común denominador, que es $a^2b^2$:
$$ \frac{a^3 + b^3 - ab^2 - a^2b}{a^2b^2} \geq 0 $$

3. Factorización del numerador:
Agrupamos términos en el numerador para factorizar por partes:
$$ a^3 - a^2b + b^3 - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) $$
$$ = (a^2 - b^2)(a - b) $$
Utilizamos la diferencia de cuadrados $(a^2 - b^2) = (a + b)(a - b)$:
$$ = (a + b)(a - b)(a - b) = (a + b)(a - b)^2 $$

4. Evaluación del signo:
La expresión original es equivalente a:
$$ \frac{(a + b)(a - b)^2}{a^2b^2} \geq 0 $$
Analizamos cada factor:

• $(a + b) \geq 0$ (Condición dada por el problema).
• $(a - b)^2 \geq 0$ (Todo número real al cuadrado es no negativo).
• $a^2b^2 > 0$ (Al ser $a, b \neq 0$, sus cuadrados y el producto de estos son positivos).

Puesto que el producto y cociente de términos no negativos es no negativo, la desigualdad queda demostrada.
$$ \boxed{\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $$