1. Identificación de datos y condiciones:
El problema nos indica que $a$ y $b$ son números reales positivos ($a, b \in \mathbb{R}^+$). Esto garantiza que las raíces cuadradas están definidas y que los denominadores no son cero.

2. Transformación de la expresión:
Para trabajar más cómodamente, realizamos un cambio de variable. Sean:
$$ x = \sqrt{a} \quad \text{y} \quad y = \sqrt{b} $$
Dado que $a, b > 0$, entonces $x, y > 0$. La desigualdad original se transforma en:
$$ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y $$

3. Desarrollo algebraico:
Sumamos las fracciones en el lado izquierdo buscando un denominador común ($xy$):
$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} \geq x + y $$
Como $x, y > 0$, el producto $xy$ es positivo. Podemos multiplicar ambos miembros por $xy$ sin cambiar el sentido de la desigualdad:
$$ x^3 + y^3 \geq xy(x + y) $$

4. Factorización y simplificación:
Recordamos la identidad de suma de cubos: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Sustituimos:
$$ (x + y)(x^2 - xy + y^2) \geq xy(x + y) $$
Como $x + y > 0$, podemos dividir ambos lados por $(x + y)$:
$$ x^2 - xy + y^2 \geq xy $$
Restamos $xy$ en ambos lados:
$$ x^2 - 2xy + y^2 \geq 0 $$

5. Conclusión:
La expresión resultante es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ (x - y)^2 \geq 0 $$
Dado que cualquier número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero, la desigualdad es verdadera para todos los $x, y > 0$. Por lo tanto, volviendo a las variables originales:
$$ \boxed{\frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}} $$