Ii
MATU • Algebra
MATU_INEC_011
Guía de Estudios
Enunciado
11. ¿Para qué valores de "a" se verifica la desigualdad?
$$1 < \frac{3a + 10}{a + 7} < 2$$
a) $a \in \langle \frac{3}{2}, 4 \rangle$ b) $a \in \langle -\frac{3}{2}, 4 \rangle$ c) $a \in \langle \frac{1}{2}, 4 \rangle$ d) $a \in \langle -\frac{1}{2}, 4 \rangle$ e) $a \in \langle \frac{5}{2}, 4 \rangle$
$$1 < \frac{3a + 10}{a + 7} < 2$$
a) $a \in \langle \frac{3}{2}, 4 \rangle$ b) $a \in \langle -\frac{3}{2}, 4 \rangle$ c) $a \in \langle \frac{1}{2}, 4 \rangle$ d) $a \in \langle -\frac{1}{2}, 4 \rangle$ e) $a \in \langle \frac{5}{2}, 4 \rangle$
Solución Paso a Paso
1. Dividimos en dos partes:
Parte 1: $1 < \frac{3a + 10}{a + 7} \implies \frac{3a + 10}{a + 7} - 1 > 0 \implies \frac{2a + 3}{a + 7} > 0$.
Puntos críticos: $-7$ y $-1.5$. Intervalo: $\langle -\infty, -7 \rangle \cup \langle -1.5, \infty \rangle$.
Parte 2: $\frac{3a + 10}{a + 7} < 2 \implies \frac{3a + 10 - 2a - 14}{a + 7} < 0 \implies \frac{a - 4}{a + 7} < 0$.
Puntos críticos: $-7$ y $4$. Intervalo: $\langle -7, 4 \rangle$.
2. Intersección:
La intersección de ambos intervalos es $\langle -1.5, 4 \rangle$, que es $\langle -\frac{3}{2}, 4 \rangle$.
Respuesta: b)
Parte 1: $1 < \frac{3a + 10}{a + 7} \implies \frac{3a + 10}{a + 7} - 1 > 0 \implies \frac{2a + 3}{a + 7} > 0$.
Puntos críticos: $-7$ y $-1.5$. Intervalo: $\langle -\infty, -7 \rangle \cup \langle -1.5, \infty \rangle$.
Parte 2: $\frac{3a + 10}{a + 7} < 2 \implies \frac{3a + 10 - 2a - 14}{a + 7} < 0 \implies \frac{a - 4}{a + 7} < 0$.
Puntos críticos: $-7$ y $4$. Intervalo: $\langle -7, 4 \rangle$.
2. Intersección:
La intersección de ambos intervalos es $\langle -1.5, 4 \rangle$, que es $\langle -\frac{3}{2}, 4 \rangle$.
Respuesta: b)