Ii
MATU • Algebra
MATU_INEC_008
Guía de Estudios
Enunciado
8. Resolver: $\frac{x^2}{x - 2} < x + 6$
a) $x \in \langle -\infty, 2 \rangle$ b) $x \in \langle 3, \infty \rangle$ c) $x \in \langle -\infty, 2 \rangle \cup \langle 3, \infty \rangle$ d) $x \in \langle -\infty, 3 \rangle$ e) $x \in \langle 2, \infty \rangle$
a) $x \in \langle -\infty, 2 \rangle$ b) $x \in \langle 3, \infty \rangle$ c) $x \in \langle -\infty, 2 \rangle \cup \langle 3, \infty \rangle$ d) $x \in \langle -\infty, 3 \rangle$ e) $x \in \langle 2, \infty \rangle$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo:
Pasamos todo a un lado para comparar con cero:
$$\frac{x^2}{x - 2} - (x + 6) < 0$$
$$\frac{x^2 - (x + 6)(x - 2)}{x - 2} < 0$$
$$\frac{x^2 - (x^2 + 4x - 12)}{x - 2} < 0$$
$$\frac{-4x + 12}{x - 2} < 0 \implies \frac{4x - 12}{x - 2} > 0$$
2. Puntos Críticos:
Numerador: $4x - 12 = 0 \implies x = 3$.
Denominador: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
3. Análisis de signos:
En la recta numérica: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, \infty)$.
Probando valores, la expresión es positiva en $\langle -\infty, 2 \rangle \cup \langle 3, \infty \rangle$.
Respuesta: c)
Pasamos todo a un lado para comparar con cero:
$$\frac{x^2}{x - 2} - (x + 6) < 0$$
$$\frac{x^2 - (x + 6)(x - 2)}{x - 2} < 0$$
$$\frac{x^2 - (x^2 + 4x - 12)}{x - 2} < 0$$
$$\frac{-4x + 12}{x - 2} < 0 \implies \frac{4x - 12}{x - 2} > 0$$
2. Puntos Críticos:
Numerador: $4x - 12 = 0 \implies x = 3$.
Denominador: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
3. Análisis de signos:
En la recta numérica: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, \infty)$.
Probando valores, la expresión es positiva en $\langle -\infty, 2 \rangle \cup \langle 3, \infty \rangle$.
Respuesta: c)