Ii
MATU • Algebra
MATU_INEC_001
Guía de Estudios
Enunciado
1. Hallar los valores enteros y positivos que satisfacen la inecuación:
$$\sqrt[3]{3^{\frac{5x + 1}{2}}} < \sqrt{9^{\frac{3(x + 1)}{5}}}$$
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
$$\sqrt[3]{3^{\frac{5x + 1}{2}}} < \sqrt{9^{\frac{3(x + 1)}{5}}}$$
a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
Solución Paso a Paso
1. Datos y Propiedades:
Utilizaremos la propiedad de exponentes: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ y buscaremos igualar las bases a 3 ($9 = 3^2$).
2. Desarrollo:
Transformamos ambos miembros a base 3:
$$3^{\frac{5x+1}{2 \cdot 3}} < (3^2)^{\frac{3(x+1)}{5 \cdot 2}}$$
$$3^{\frac{5x+1}{6}} < 3^{\frac{3(x+1)}{5}}$$
Como la base (3) es mayor que 1, la desigualdad se mantiene para los exponentes:
$$\frac{5x+1}{6} < \frac{3x+3}{5}$$
Multiplicamos en cruz (ya que 5 y 6 son positivos):
$$5(5x + 1) < 6(3x + 3)$$
$$25x + 5 < 18x + 18$$
$$7x < 13 \implies x < \frac{13}{7} \approx 1.857$$
3. Resultado:
Los valores enteros y positivos que cumplen $x < 1.857$ son únicamente $\{1\}$.
El número de valores o el valor es 1.
Respuesta: c)
Utilizaremos la propiedad de exponentes: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ y buscaremos igualar las bases a 3 ($9 = 3^2$).
2. Desarrollo:
Transformamos ambos miembros a base 3:
$$3^{\frac{5x+1}{2 \cdot 3}} < (3^2)^{\frac{3(x+1)}{5 \cdot 2}}$$
$$3^{\frac{5x+1}{6}} < 3^{\frac{3(x+1)}{5}}$$
Como la base (3) es mayor que 1, la desigualdad se mantiene para los exponentes:
$$\frac{5x+1}{6} < \frac{3x+3}{5}$$
Multiplicamos en cruz (ya que 5 y 6 son positivos):
$$5(5x + 1) < 6(3x + 3)$$
$$25x + 5 < 18x + 18$$
$$7x < 13 \implies x < \frac{13}{7} \approx 1.857$$
3. Resultado:
Los valores enteros y positivos que cumplen $x < 1.857$ son únicamente $\{1\}$.
El número de valores o el valor es 1.
Respuesta: c)