Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_018
Examen de Admisión
Enunciado
Sabiendo que $(x + y + z + w) (m + n + p + q) = 5329$ y que:
$$ \frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{w}{q} $$
Hallar el valor de:
$$ E = 3 \left[ \sqrt{x \cdot m} + \sqrt{y \cdot n} + \sqrt{z \cdot p} + \sqrt{w \cdot q} \right] $$
a) 3 b) 12 c) 219 d) 73 e) 1
$$ \frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{w}{q} $$
Hallar el valor de:
$$ E = 3 \left[ \sqrt{x \cdot m} + \sqrt{y \cdot n} + \sqrt{z \cdot p} + \sqrt{w \cdot q} \right] $$
a) 3 b) 12 c) 219 d) 73 e) 1
Solución Paso a Paso
1. Establecer la constante de proporcionalidad:
Sea $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{w}{q} = k$.
Entonces: $x = mk, y = nk, z = pk, w = qk$.
2. Sustitución en la condición dada:
$$ (mk + nk + pk + qk)(m + n + p + q) = 5329 $$
Factorizando $k$:
$$ k(m + n + p + q)^2 = 5329 $$
Extrayendo raíz cuadrada:
$$ \sqrt{k}(m + n + p + q) = \sqrt{5329} = 73 $$
3. Simplificación de $E$:
$$ E = 3 \left[ \sqrt{mk \cdot m} + \sqrt{nk \cdot n} + \sqrt{pk \cdot p} + \sqrt{qk \cdot q} \right] $$
$$ E = 3 \left[ m\sqrt{k} + n\sqrt{k} + p\sqrt{k} + q\sqrt{k} \right] = 3\sqrt{k}(m + n + p + q) $$
4. Resultado final:
Sustituimos el valor de la expresión obtenido en el paso 2:
$$ E = 3 \cdot (73) = 219 $$
$$ \boxed{E = 219} $$
Respuesta: c) 219
Sea $\frac{x}{m} = \frac{y}{n} = \frac{z}{p} = \frac{w}{q} = k$.
Entonces: $x = mk, y = nk, z = pk, w = qk$.
2. Sustitución en la condición dada:
$$ (mk + nk + pk + qk)(m + n + p + q) = 5329 $$
Factorizando $k$:
$$ k(m + n + p + q)^2 = 5329 $$
Extrayendo raíz cuadrada:
$$ \sqrt{k}(m + n + p + q) = \sqrt{5329} = 73 $$
3. Simplificación de $E$:
$$ E = 3 \left[ \sqrt{mk \cdot m} + \sqrt{nk \cdot n} + \sqrt{pk \cdot p} + \sqrt{qk \cdot q} \right] $$
$$ E = 3 \left[ m\sqrt{k} + n\sqrt{k} + p\sqrt{k} + q\sqrt{k} \right] = 3\sqrt{k}(m + n + p + q) $$
4. Resultado final:
Sustituimos el valor de la expresión obtenido en el paso 2:
$$ E = 3 \cdot (73) = 219 $$
$$ \boxed{E = 219} $$
Respuesta: c) 219