Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_015
Guía
Enunciado
Simplificar y hallar el valor de la expresión $E$:
$$ E = \frac{x^3 + (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x + a^2b}{x^3 + (a + 2b)x^2 + (2ab + b^2)x + ab^2} \cdot \sqrt{\frac{(b - a)(b + a + 2x)}{a^2 + 2ax + x^2} + 1} $$
a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 6
$$ E = \frac{x^3 + (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x + a^2b}{x^3 + (a + 2b)x^2 + (2ab + b^2)x + ab^2} \cdot \sqrt{\frac{(b - a)(b + a + 2x)}{a^2 + 2ax + x^2} + 1} $$
a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 6
Solución Paso a Paso
1. Factorización de la fracción principal:
La fracción se simplifica a:
$$ \frac{(x+b)(x+a)^2}{(x+a)(x+b)^2} = \frac{x+a}{x+b} $$
2. Simplificación del radicando:
Trabajamos dentro de la raíz cuadrada:
$$ \frac{(b-a)(b+a+2x)}{(x+a)^2} + 1 = \frac{(b^2-a^2+2bx-2ax) + (x^2+2ax+a^2)}{(x+a)^2} $$
$$ = \frac{b^2 + 2bx + x^2}{(x+a)^2} = \frac{(x+b)^2}{(x+a)^2} $$
3. Extracción de la raíz y producto:
$$ \sqrt{\frac{(x+b)^2}{(x+a)^2}} = \frac{x+b}{x+a} $$
Finalmente:
$$ E = \left( \frac{x+a}{x+b} \right) \cdot \left( \frac{x+b}{x+a} \right) $$
$$ \boxed{E = 1} $$
Respuesta: a) 1
- Numerador: $x^2(x+2a+b) + x(a^2+2ab) + a^2b = (x+b)(x+a)^2$
- Denominador: $x^2(x+a+2b) + x(2ab+b^2) + ab^2 = (x+a)(x+b)^2$
La fracción se simplifica a:
$$ \frac{(x+b)(x+a)^2}{(x+a)(x+b)^2} = \frac{x+a}{x+b} $$
2. Simplificación del radicando:
Trabajamos dentro de la raíz cuadrada:
$$ \frac{(b-a)(b+a+2x)}{(x+a)^2} + 1 = \frac{(b^2-a^2+2bx-2ax) + (x^2+2ax+a^2)}{(x+a)^2} $$
$$ = \frac{b^2 + 2bx + x^2}{(x+a)^2} = \frac{(x+b)^2}{(x+a)^2} $$
3. Extracción de la raíz y producto:
$$ \sqrt{\frac{(x+b)^2}{(x+a)^2}} = \frac{x+b}{x+a} $$
Finalmente:
$$ E = \left( \frac{x+a}{x+b} \right) \cdot \left( \frac{x+b}{x+a} \right) $$
$$ \boxed{E = 1} $$
Respuesta: a) 1