Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_014
Examen de Admisión
Enunciado
Sabiendo que se cumple la condición $ax + by + cz = 0$, simplificar la siguiente expresión:
$$ E = \frac{(ay - bx)^2 + (cx - az)^2 + (bz - cy)^2}{x(a + x) + y(b + y) + z(c + z)} $$
a) $a + b + c$ b) $ab + ac + bc$ c) $a^2 + b^2 + c^2$ d) 1 e) 0
$$ E = \frac{(ay - bx)^2 + (cx - az)^2 + (bz - cy)^2}{x(a + x) + y(b + y) + z(c + z)} $$
a) $a + b + c$ b) $ab + ac + bc$ c) $a^2 + b^2 + c^2$ d) 1 e) 0
Solución Paso a Paso
1. Análisis del denominador ($D$):
Expandimos los términos:
$$ D = ax + x^2 + by + y^2 + cz + z^2 $$
Agrupamos según la condición dada:
$$ D = (ax + by + cz) + (x^2 + y^2 + z^2) $$
Como $ax + by + cz = 0$, entonces:
$$ D = x^2 + y^2 + z^2 $$
2. Análisis del numerador ($N$):
Recordamos la Identidad de Lagrange:
$$ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) - (ax+by+cz)^2 = (ay-bx)^2 + (bz-cy)^2 + (az-cx)^2 $$
Dado que $(ax+by+cz) = 0$, el término sustraído es cero. El numerador es exactamente el lado derecho de la identidad:
$$ N = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) $$
3. Simplificación de $E$:
$$ E = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)}{x^2 + y^2 + z^2} $$
Simplificando los términos comunes:
$$ \boxed{E = a^2 + b^2 + c^2} $$
Respuesta: c) $a^2 + b^2 + c^2$
Expandimos los términos:
$$ D = ax + x^2 + by + y^2 + cz + z^2 $$
Agrupamos según la condición dada:
$$ D = (ax + by + cz) + (x^2 + y^2 + z^2) $$
Como $ax + by + cz = 0$, entonces:
$$ D = x^2 + y^2 + z^2 $$
2. Análisis del numerador ($N$):
Recordamos la Identidad de Lagrange:
$$ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) - (ax+by+cz)^2 = (ay-bx)^2 + (bz-cy)^2 + (az-cx)^2 $$
Dado que $(ax+by+cz) = 0$, el término sustraído es cero. El numerador es exactamente el lado derecho de la identidad:
$$ N = (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) $$
3. Simplificación de $E$:
$$ E = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)}{x^2 + y^2 + z^2} $$
Simplificando los términos comunes:
$$ \boxed{E = a^2 + b^2 + c^2} $$
Respuesta: c) $a^2 + b^2 + c^2$