I
MATU • Algebra
MATU_FRAC_013
Guía de Estudios
Enunciado
Calcular el valor de la expresión $A$:
$$ A = \frac{[(x + x^{-1})^2 + (x - x^{-1})^2]^2 - 4(x + x^{-1})^2(x - x^{-1})^2}{(x^4 + x^{-4})^2 - (x^4 - x^{-4})^2} $$
a) -1 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0
$$ A = \frac{[(x + x^{-1})^2 + (x - x^{-1})^2]^2 - 4(x + x^{-1})^2(x - x^{-1})^2}{(x^4 + x^{-4})^2 - (x^4 - x^{-4})^2} $$
a) -1 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0
Solución Paso a Paso
1. Propiedades a utilizar:
2. Simplificación del numerador ($N$):
Sea $u = (x + x^{-1})^2$ y $v = (x - x^{-1})^2$. El numerador tiene la forma:
$$ N = (u + v)^2 - 4uv = (u - v)^2 $$
Sustituimos $u - v$ usando la Identidad de Legendre 2:
$$ u - v = (x + x^{-1})^2 - (x - x^{-1})^2 = 4(x)(x^{-1}) = 4(1) = 4 $$
Por lo tanto:
$$ N = (4)^2 = 16 $$
3. Simplificación del denominador ($D$):
Aplicamos directamente la Identidad de Legendre 2 con $a = x^4$ y $b = x^{-4}$:
$$ D = (x^4 + x^{-4})^2 - (x^4 - x^{-4})^2 = 4(x^4)(x^{-4}) = 4(1) = 4 $$
4. Cálculo final:
$$ A = \frac{16}{4} = 4 $$
$$ \boxed{A = 4} $$
Respuesta: c) 4
- Identidad de Legendre 1: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$
- Identidad de Legendre 2: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
- Identidad de producto notable: $(m+n)^2 - 4mn = (m-n)^2$
2. Simplificación del numerador ($N$):
Sea $u = (x + x^{-1})^2$ y $v = (x - x^{-1})^2$. El numerador tiene la forma:
$$ N = (u + v)^2 - 4uv = (u - v)^2 $$
Sustituimos $u - v$ usando la Identidad de Legendre 2:
$$ u - v = (x + x^{-1})^2 - (x - x^{-1})^2 = 4(x)(x^{-1}) = 4(1) = 4 $$
Por lo tanto:
$$ N = (4)^2 = 16 $$
3. Simplificación del denominador ($D$):
Aplicamos directamente la Identidad de Legendre 2 con $a = x^4$ y $b = x^{-4}$:
$$ D = (x^4 + x^{-4})^2 - (x^4 - x^{-4})^2 = 4(x^4)(x^{-4}) = 4(1) = 4 $$
4. Cálculo final:
$$ A = \frac{16}{4} = 4 $$
$$ \boxed{A = 4} $$
Respuesta: c) 4