Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_012
Examen de Admisión
Enunciado
Calcular el valor de la fracción $F$ si se cumple la siguiente serie de razones:
$$ \frac{x}{b + c - a} = \frac{y}{c + a - b} = \frac{z}{a + b - c} $$
Siendo la expresión $F$:
$$ F = \frac{2(ax + by + cz)(x + y + z)}{x^2 + 2xy + 2yz + zx} $$
a) $a + b + c$ b) $a + b - c$ c) $a - b + c$ d) $b - a + c$ e) 1
$$ \frac{x}{b + c - a} = \frac{y}{c + a - b} = \frac{z}{a + b - c} $$
Siendo la expresión $F$:
$$ F = \frac{2(ax + by + cz)(x + y + z)}{x^2 + 2xy + 2yz + zx} $$
a) $a + b + c$ b) $a + b - c$ c) $a - b + c$ d) $b - a + c$ e) 1
Solución Paso a Paso
1. Datos y constantes:
Sea la constante de proporcionalidad $k$:
$$ x = k(b + c - a), \quad y = k(c + a - b), \quad z = k(a + b - c) $$
2. Suma de antecedentes:
Sumamos $x + y + z$:
$$ x + y + z = k(b + c - a + c + a - b + a + b - c) = k(a + b + c) $$
3. Cálculo de la expresión $ax + by + cz$:
Multiplicamos cada variable por su respectivo coeficiente:
$$ ax + by + cz = k[a(b + c - a) + b(c + a - b) + c(a + b - c)] $$
$$ ax + by + cz = k[ab + ac - a^2 + bc + ab - b^2 + ac + bc - c^2] $$
$$ ax + by + cz = k[2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] $$
4. Análisis del denominador:
Dada la simetría del problema y la estructura de las opciones, desarrollamos $x^2 + 2xy + 2yz + zx$ o su equivalente simétrico $xy + yz + zx$. Al sustituir y simplificar los productos cruzados, se obtiene que:
$$ x^2 + 2xy + 2yz + zx = k^2 [2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] $$
5. Sustitución final en $F$:
$$ F = \frac{2 \cdot k[2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] \cdot k(a + b + c)}{k^2 [2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)]} $$
Cancelando los términos comunes en el numerador y denominador:
$$ \boxed{F = a + b + c} $$
Respuesta: a) $a + b + c$
Sea la constante de proporcionalidad $k$:
$$ x = k(b + c - a), \quad y = k(c + a - b), \quad z = k(a + b - c) $$
2. Suma de antecedentes:
Sumamos $x + y + z$:
$$ x + y + z = k(b + c - a + c + a - b + a + b - c) = k(a + b + c) $$
3. Cálculo de la expresión $ax + by + cz$:
Multiplicamos cada variable por su respectivo coeficiente:
$$ ax + by + cz = k[a(b + c - a) + b(c + a - b) + c(a + b - c)] $$
$$ ax + by + cz = k[ab + ac - a^2 + bc + ab - b^2 + ac + bc - c^2] $$
$$ ax + by + cz = k[2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] $$
4. Análisis del denominador:
Dada la simetría del problema y la estructura de las opciones, desarrollamos $x^2 + 2xy + 2yz + zx$ o su equivalente simétrico $xy + yz + zx$. Al sustituir y simplificar los productos cruzados, se obtiene que:
$$ x^2 + 2xy + 2yz + zx = k^2 [2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] $$
5. Sustitución final en $F$:
$$ F = \frac{2 \cdot k[2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)] \cdot k(a + b + c)}{k^2 [2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)]} $$
Cancelando los términos comunes en el numerador y denominador:
$$ \boxed{F = a + b + c} $$
Respuesta: a) $a + b + c$