Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_005
Guía de Estudios
Enunciado
Calcular el valor de la expresión simplificada:
$$E = \frac{ \left( \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \right) \left( \frac{x^2-y^2}{x^3+y^3} \right) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) }{ \left[ \frac{(x+y)^2-xy}{(x-y)^2+xy} \right] \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) }$$
a) $\frac{x+y}{x-y}$ b) $\frac{x-y}{x+y}$ c) $x+y$ d) $x-y$ e) 1
$$E = \frac{ \left( \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \right) \left( \frac{x^2-y^2}{x^3+y^3} \right) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) }{ \left[ \frac{(x+y)^2-xy}{(x-y)^2+xy} \right] \left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) }$$
a) $\frac{x+y}{x-y}$ b) $\frac{x-y}{x+y}$ c) $x+y$ d) $x-y$ e) 1
Solución Paso a Paso
1. Descomposición del numerador (N):
Utilizamos identidades de cubos y diferencia de cuadrados:
Sustituyendo:
$$N = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+y^2} \cdot \frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} \cdot \frac{x+y}{xy}$$
Simplificando términos:
$$N = \frac{(x-y)^2 (x+y) (x^2+xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)xy}$$
2. Descomposición del denominador (D):
Sustituyendo:
$$D = \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2} \cdot \frac{x-y}{xy}$$
3. División N/D:
$$ E = \frac{(x-y)^2 (x+y) (x^2+xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)xy} \cdot \frac{(x^2-xy+y^2)xy}{(x^2+xy+y^2)(x-y)} $$
Cancelando factores comunes:
$$E = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$$
$$ \boxed{\text{Respuesta: c) } x+y} $$
Utilizamos identidades de cubos y diferencia de cuadrados:
- $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$
- $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$
- $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$
- $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}$
Sustituyendo:
$$N = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+y^2} \cdot \frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} \cdot \frac{x+y}{xy}$$
Simplificando términos:
$$N = \frac{(x-y)^2 (x+y) (x^2+xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)xy}$$
2. Descomposición del denominador (D):
- $(x+y)^2 - xy = x^2+2xy+y^2-xy = x^2+xy+y^2$
- $(x-y)^2 + xy = x^2-2xy+y^2+xy = x^2-xy+y^2$
- $\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x-y}{xy}$
Sustituyendo:
$$D = \frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2} \cdot \frac{x-y}{xy}$$
3. División N/D:
$$ E = \frac{(x-y)^2 (x+y) (x^2+xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)xy} \cdot \frac{(x^2-xy+y^2)xy}{(x^2+xy+y^2)(x-y)} $$
Cancelando factores comunes:
$$E = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}$$
$$ \boxed{\text{Respuesta: c) } x+y} $$