Ii
MATU • Algebra
MATU_FRAC_004
Guía de Estudios
Enunciado
Hallar el valor de:
$$E = \left[ \frac{2x+y}{2x-y} + \frac{2x-y}{2x+y} \right] \left[ \frac{2x+y}{2x-y} - \frac{2x-y}{2x+y} \right] (4x^2 - y^2)$$
si se cumple que: $2\left(\frac{x}{y}\right) = \sqrt{\frac{1+xy}{1-xy}}$
a) 4 b) 16 c) 2 d) 1 e) -4
$$E = \left[ \frac{2x+y}{2x-y} + \frac{2x-y}{2x+y} \right] \left[ \frac{2x+y}{2x-y} - \frac{2x-y}{2x+y} \right] (4x^2 - y^2)$$
si se cumple que: $2\left(\frac{x}{y}\right) = \sqrt{\frac{1+xy}{1-xy}}$
a) 4 b) 16 c) 2 d) 1 e) -4
Solución Paso a Paso
1. Simplificación algebraica de E:
Sean $u = 2x+y$ y $v = 2x-y$. Notemos que $uv = (2x+y)(2x-y) = 4x^2-y^2$.
La expresión se convierte en:
$$E = \left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} \right) \left( \frac{u}{v} - \frac{v}{u} \right) (uv)$$
$$ \begin{aligned} E &= \left( \frac{u^2+v^2}{uv} \right) \left( \frac{u^2-v^2}{uv} \right) (uv) \\ E &= \frac{(u^2+v^2)(u^2-v^2)}{uv} \end{aligned} $$
2. Aplicación de identidades de Legendre:
Sustituyendo en E:
$$E = \frac{2(4x^2+y^2)(8xy)}{4x^2-y^2} = \frac{16xy(4x^2+y^2)}{4x^2-y^2}$$
3. Uso de la condición dada:
Elevando al cuadrado la condición: $4\frac{x^2}{y^2} = \frac{1+xy}{1-xy}$
$$ \begin{aligned} 4x^2(1-xy) &= y^2(1+xy) \\ 4x^2 - 4x^3y &= y^2 + xy^3 \\ 4x^2 - y^2 &= 4x^3y + xy^3 = xy(4x^2+y^2) \end{aligned} $$
Sustituimos $(4x^2-y^2)$ en la ecuación de E:
$$E = \frac{16xy(4x^2+y^2)}{xy(4x^2+y^2)} = 16$$
$$ \boxed{\text{Respuesta: b) } 16} $$
Sean $u = 2x+y$ y $v = 2x-y$. Notemos que $uv = (2x+y)(2x-y) = 4x^2-y^2$.
La expresión se convierte en:
$$E = \left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} \right) \left( \frac{u}{v} - \frac{v}{u} \right) (uv)$$
$$ \begin{aligned} E &= \left( \frac{u^2+v^2}{uv} \right) \left( \frac{u^2-v^2}{uv} \right) (uv) \\ E &= \frac{(u^2+v^2)(u^2-v^2)}{uv} \end{aligned} $$
2. Aplicación de identidades de Legendre:
- $u^2+v^2 = (2x+y)^2 + (2x-y)^2 = 2[(2x)^2 + y^2] = 2(4x^2+y^2)$
- $u^2-v^2 = (2x+y)^2 - (2x-y)^2 = 4(2x)(y) = 8xy$
Sustituyendo en E:
$$E = \frac{2(4x^2+y^2)(8xy)}{4x^2-y^2} = \frac{16xy(4x^2+y^2)}{4x^2-y^2}$$
3. Uso de la condición dada:
Elevando al cuadrado la condición: $4\frac{x^2}{y^2} = \frac{1+xy}{1-xy}$
$$ \begin{aligned} 4x^2(1-xy) &= y^2(1+xy) \\ 4x^2 - 4x^3y &= y^2 + xy^3 \\ 4x^2 - y^2 &= 4x^3y + xy^3 = xy(4x^2+y^2) \end{aligned} $$
Sustituimos $(4x^2-y^2)$ en la ecuación de E:
$$E = \frac{16xy(4x^2+y^2)}{xy(4x^2+y^2)} = 16$$
$$ \boxed{\text{Respuesta: b) } 16} $$