1. Análisis de los datos y factores:
Para sumar fracciones algebraicas, necesitamos un denominador común. Observamos los factores en los denominadores: $(x-y)$, $(y-z)$ y $(z-x)$. Notamos que algunos términos están invertidos:

• $(z-y) = -(y-z)$


• $(x-z) = -(z-x)$

2. Homogenización de los denominadores:
Reescribimos la expresión original para que todos los términos compartan los mismos factores base:
$$S = \frac{x}{(x-y)(z-x)} + \frac{y}{(y-z)(x-y)} + \frac{z}{[-(y-z)][-(z-x)]}$$
Como $(-)(-) = (+)$, el tercer término queda:
$$S = \frac{x}{(x-y)(z-x)} + \frac{y}{(y-z)(x-y)} + \frac{z}{(y-z)(z-x)}$$

3. Obtención del Mínimo Común Múltiplo (MCM):
El MCM de los denominadores es: $D = (x-y)(y-z)(z-x)$.
Ajustamos cada numerador:

• Primer término: $\frac{x(y-z)}{D}$


• Segundo término: $\frac{y(z-x)}{D}$


• Tercer término: $\frac{z(x-y)}{D}$

4. Desarrollo del numerador:
Sumamos los numeradores expandiendo los productos:
$$ \begin{aligned} N &= x(y-z) + y(z-x) + z(x-y) \\ N &= xy - xz + yz - xy + xz - yz \end{aligned} $$
Al simplificar los términos semejantes:
$$N = (xy - xy) + (yz - yz) + (xz - xz) = 0$$

5. Resultado final:
La expresión se reduce a:
$$S = \frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 0$$

$$ \boxed{\text{Respuesta: c) } 0} $$