Paso 1: Factorización de la expresión.
Realizamos una factorización por agrupación:
$$ n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n = n^3(n - 2) - n(n - 2) $$
$$ = (n^3 - n)(n - 2) $$
Ahora, factorizamos el término cúbico:
$$ = n(n^2 - 1)(n - 2) $$
Recordando la diferencia de cuadrados:
$$ = n(n - 1)(n + 1)(n - 2) $$
Reordenando los términos de menor a mayor:
$$ = (n - 2)(n - 1)(n)(n + 1) $$

Paso 2: Análisis de números consecutivos.
La expresión resultante es el producto de cuatro números enteros consecutivos.

Representación Visual:
$$ \begin{array}{c} \text{Producto de enteros consecutivos} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (n-2) & (n-1) & n & (n+1) \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Propiedad de Divisibilidad:
Una propiedad fundamental de la teoría de números establece que el producto de $k$ números enteros consecutivos siempre es divisible por $k!$ (factorial de $k$).
En este caso, tenemos $k = 4$:
$$ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $$

Por lo tanto, la expresión siempre será múltiplo de $24$.

$$ \boxed{\text{La expresión es divisible por } 24} $$