Paso 1: Simplificación de la expresión.
Factorizamos los términos comunes en la expresión:
$$ E = 3^2 \cdot 3^{2n} \cdot 5^{2n} - 3^2 \cdot 3^{3n} \cdot 2^{2n} $$
$$ E = 9 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^n - 9 \cdot (3^3 \cdot 2^2)^n $$
$$ E = 9 \cdot (9 \cdot 25)^n - 9 \cdot (27 \cdot 4)^n $$
$$ E = 9 \cdot (225^n - 108^n) $$

Paso 2: Aplicación de propiedades algebraicas.
Recordamos la identidad de diferencia de potencias de igual grado:
$$ a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) $$
Esto implica que $(a - b)$ siempre es un divisor de $(a^n - b^n)$.
En nuestro caso:
$$ (225 - 108) = 117 $$
Por lo tanto, $(225^n - 108^n)$ es divisible por $117$. Podemos escribir:
$$ 225^n - 108^n = 117 \cdot K \quad (K \in \mathbb{Z}) $$

Paso 3: Verificación del divisor total.
Sustituimos esto en la expresión original:
$$ E = 9 \cdot (117 \cdot K) $$
Multiplicamos los factores:
$$ 9 \times 117 = 1053 $$
Por lo tanto:
$$ E = 1053 \cdot K $$

$$ \boxed{\text{La expresión es divisible por } 1053} $$