Primero, simplifiquemos la expresión original para trabajar con bases más comunes:
$$ E = 5^{2n} \cdot 5^1 + 2^n \cdot 2^4 + 2^n \cdot 2^1 $$
$$ E = 5 \cdot (25^n) + 16 \cdot 2^n + 2 \cdot 2^n = 5 \cdot 25^n + 18 \cdot 2^n $$

Análisis por Inducción:
Paso 1: Base para $n=1$:
$$ E(1) = 5(25) + 18(2) = 125 + 36 = 161 $$
Dividimos para verificar: $161 = 23 \times 7$. Se cumple.

Paso 2: Hipótesis inductiva:

Paso 3: Demostración para $n=k+1$:
$$ E(k+1) = 5 \cdot 25^{k+1} + 18 \cdot 2^{k+1} $$
$$ E(k+1) = 5 \cdot 25 \cdot 25^k + 18 \cdot 2 \cdot 2^k = 125 \cdot 25^k + 36 \cdot 2^k $$
Utilizamos un artificio matemático restando y sumando términos:
$$ E(k+1) = 25(5 \cdot 25^k) + 36 \cdot 2^k $$
Sustituyendo $5 \cdot 25^k = 23m - 18 \cdot 2^k$:
$$ E(k+1) = 25(23m - 18 \cdot 2^k) + 36 \cdot 2^k $$
$$ E(k+1) = 25(23m) - 450 \cdot 2^k + 36 \cdot 2^k $$
$$ E(k+1) = 25(23m) - 414 \cdot 2^k $$
Notamos que $414 = 23 \times 18$:
$$ E(k+1) = 23(25m - 18 \cdot 2^k) $$

$$ \boxed{\text{La expresión es divisible por } 23 \text{ para todo } n} $$