Para demostrar que una expresión es divisible por un número, utilizaremos el método de Inducción Matemática. Sea $P(n) = 2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4$.

1. Paso Básico:
Probamos para $n = 1$:
$$ P(1) = 2^{1+2} \cdot 3^1 + 5(1) - 4 = 2^3 \cdot 3 + 5 - 4 $$
$$ P(1) = 8 \cdot 3 + 1 = 24 + 1 = 25 $$
Como $25$ es divisible por $25$, el paso básico se cumple.

2. Paso Inductivo:
$$ P(k) = 2^{k+2} \cdot 3^k + 5k - 4 = 25m \quad \text{donde } m \in \mathbb{Z} $$
Debemos demostrar que se cumple para $n = k + 1$:
$$ P(k+1) = 2^{(k+1)+2} \cdot 3^{k+1} + 5(k+1) - 4 $$
$$ P(k+1) = 2^{k+3} \cdot 3^{k+1} + 5k + 5 - 4 $$

3. Desarrollo algebraico:
Expresamos los términos en función de la hipótesis:
$$ P(k+1) = 2 \cdot 3 \cdot (2^{k+2} \cdot 3^k) + 5k + 1 $$
De la hipótesis, sabemos que $2^{k+2} \cdot 3^k = 25m - 5k + 4$. Sustituimos:
$$ P(k+1) = 6(25m - 5k + 4) + 5k + 1 $$
$$ P(k+1) = 150m - 30k + 24 + 5k + 1 $$
$$ P(k+1) = 150m - 25k + 25 $$
Factorizando el $25$:
$$ P(k+1) = 25(6m - k + 1) $$
Como $(6m - k + 1)$ es un entero, queda demostrado que $P(k+1)$ es divisible por $25$.

$$ \boxed{\text{Por inducción, } 2^{n+2} \cdot 3^n + 5n - 4 \text{ es divisible por } 25} $$