Para demostrar la divisibilidad, utilizaremos el método de Inducción Matemática.

1. Datos y base de inducción:
Definimos la proposición $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9 = 64k$ para algún $k \in \mathbb{Z}$.
Probamos para $n=1$:
$$ \begin{aligned} 3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 &= 3^4 - 8 - 9 \\ &= 81 - 17 \\ &= 64 \end{aligned} $$
Como $64$ es divisible por $64$, $P(1)$ es verdadero.

2. Hipótesis inductiva:
Suponemos que $P(k)$ es cierto para un natural $k$:
$$ 3^{2k+2} - 8k - 9 = 64m \quad \text{(donde } m \in \mathbb{Z}\text{)} $$
De aquí podemos despejar $3^{2k+2} = 64m + 8k + 9$.

3. Tesis inductiva:
Debemos demostrar que $P(k+1)$ es cierto:
$$ 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 = 64M $$
Desarrollamos la expresión para $n=k+1$:
$$ \begin{aligned} 3^{2k+2+2} - 8k - 8 - 9 &= 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17 \\ &= 9(3^{2k+2}) - 8k - 17 \end{aligned} $$
Sustituyendo la hipótesis inductiva:
$$ \begin{aligned} &= 9(64m + 8k + 9) - 8k - 17 \\ &= 9(64m) + 72k + 81 - 8k - 17 \\ &= 9(64m) + 64k + 64 \\ &= 64(9m + k + 1) \end{aligned} $$
Dado que $(9m + k + 1)$ es un entero, la expresión es divisible por $64$.

Representación del proceso lógico:
$$ \begin{array}{|c|l|} \hline \text{Paso} & \text{Resultado obtenido} \\ \hline n=1 & 64 \text{ (Divisible)} \\ n=k & 64m \\ n=k+1 & 64(9m + k + 1) \\ \hline \end{array} $$

$$ \boxed{3^{2n+2} - 8n - 9 \text{ es divisible por } 64} $$