Primero simplificamos la expresión original para facilitar los cálculos:
$$ 6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n = (6^2)^n + 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n $$

1. Base Inductiva: Para $n = 1$:
$$ 36^1 + 10 \cdot 3^1 = 36 + 30 = 66 $$
Como $66 = 11 \times 6$, es divisible por $11$.

$$ 36^k + 10 \cdot 3^k = 11m \implies 36^k = 11m - 10 \cdot 3^k $$

3. Tesis Inductiva: Probamos para $n = k + 1$:
$$ \begin{aligned} 36^{k+1} + 10 \cdot 3^{k+1} &= 36 \cdot 36^k + 10 \cdot 3 \cdot 3^k \\ &= 36 \cdot 36^k + 30 \cdot 3^k \end{aligned} $$
Sustituimos $36^k$:
$$ \begin{aligned} &= 36(11m - 10 \cdot 3^k) + 30 \cdot 3^k \\ &= 36 \cdot 11m - 360 \cdot 3^k + 30 \cdot 3^k \\ &= 36 \cdot 11m - 330 \cdot 3^k \end{aligned} $$
Factorizando el $11$:
$$ 11(36m - 30 \cdot 3^k) $$
Puesto que $330 = 11 \times 30$, la expresión es divisible por $11$.

Resumen del comportamiento numérico:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline n & \text{Valor} & \text{Múltiplo de 11} \\ \hline 1 & 66 & 11 \times 6 \\ 2 & 1386 & 11 \times 126 \\ \hline \end{array} $$

$$ \boxed{(6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n) \vdots 11} $$