1. Base Inductiva: Probamos para $n = 1$.
$$ 4^1 + 15(1) - 1 = 4 + 15 - 1 = 18 $$
Como $18 = 9 \times 2$, es divisible por $9$. La base es verdadera.

2. Hipótesis Inductiva: Suponemos cierto para $n = k$:
$$ 4^k + 15k - 1 = 9m \implies 4^k = 9m - 15k + 1 $$

3. Tesis Inductiva: Probamos para $n = k + 1$:
$$ \begin{aligned} 4^{k+1} + 15(k+1) - 1 &= 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 \\ &= 4 \cdot 4^k + 15k + 14 \end{aligned} $$
Sustituimos $4^k$ desde la hipótesis:
$$ \begin{aligned} &= 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 \\ &= 36m - 60k + 4 + 15k + 14 \\ &= 36m - 45k + 18 \end{aligned} $$
Factorizando el factor común $9$:
$$ 9(4m - 5k + 2) $$
Dado que el resultado es un múltiplo de $9$, la proposición es válida para todo $n$.

Análisis de crecimiento:
$$ \begin{array}{l} n=1 \to 18 \\ n=2 \to 4^2 + 15(2) - 1 = 16 + 30 - 1 = 45 \\ \hline \text{Diferencia: } 45 - 18 = 27 \text{ (también divisible por 9)} \end{array} $$

$$ \boxed{(4^n + 15n - 1) \vdots 9} $$