Para resolver este problema, utilizaremos la técnica de la suma telescópica. Buscaremos descomponer el término general de la suma en una diferencia de dos fracciones.

1. Análisis del término general:
El término general de la suma es de la forma:
$$ a_k = \frac{x^{2^{k-1}}}{1 - x^{2^k}} $$
donde $k$ varía desde $1$ hasta $n$.

2. Propiedad de descomposición:
Observemos la siguiente identidad algebraica:
$$ \frac{1}{1 - x^{2^{k-1}}} - \frac{1}{1 - x^{2^k}} $$
Para restar estas fracciones, buscamos un denominador común. Notemos que $1 - x^{2^k} = (1 - x^{2^{k-1}})(1 + x^{2^{k-1}})$.
$$ \frac{1}{1 - x^{2^{k-1}}} - \frac{1}{1 - x^{2^k}} = \frac{(1 + x^{2^{k-1}}) - 1}{1 - x^{2^k}} = \frac{x^{2^{k-1}}}{1 - x^{2^k}} $$
Esta es exactamente la forma de cada término de nuestra suma.

3. Desarrollo de la suma telescópica:
Aplicando la identidad anterior a cada término de la suma $S$:
$$ S = \left( \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^2} \right) + \left( \frac{1}{1-x^2} - \frac{1}{1-x^4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{1-x^{2^{n-1}}} - \frac{1}{1-x^{2^n}} \right) $$

Al expandir la suma, observamos que los términos intermedios se cancelan:
$$ S = \frac{1}{1-x} \cancel{- \frac{1}{1-x^2} + \frac{1}{1-x^2}} \cancel{- \dots + \frac{1}{1-x^{2^{n-1}}}} - \frac{1}{1-x^{2^n}} $$
Lo que nos deja con:
$$ S = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1-x^{2^n}} $$

4. Simplificación final:
Para llegar a la forma solicitada en el enunciado, operamos la resta final:
$$ S = \frac{(1 - x^{2^n}) - (1 - x)}{(1 - x)(1 - x^{2^n})} = \frac{1 - x^{2^n} - 1 + x}{(1 - x)(1 - x^{2^n})} $$
$$ S = \frac{x - x^{2^n}}{(1 - x)(1 - x^{2^n})} $$
Reorganizando los términos:
$$ \boxed{S = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{x - x^{2^n}}{1 - x^{2^n}}} $$