1. Análisis del término general:
El término general de la suma es $T_k = \frac{a + 2^k - 1}{2^k}$.
Podemos descomponer esta fracción de la siguiente manera:
$$ T_k = \frac{(a-1) + 2^k}{2^k} = \frac{a-1}{2^k} + \frac{2^k}{2^k} = (a-1) \cdot \frac{1}{2^k} + 1 $$

2. Aplicación de la sumatoria:
La suma total $S_n$ es:
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left[ (a-1) \left( \frac{1}{2} \right)^k + 1 \right] $$
Por propiedad de linealidad de la sumatoria:
$$ S_n = (a-1) \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right)^k + \sum_{k=1}^{n} 1 $$

3. Cálculo de las sumas parciales:
La primera parte es una progresión geométrica con primer término $r = 1/2$ y $n$ términos:
$$ \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2} \right)^k = \frac{\frac{1}{2} \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right)}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{2^n - 1}{2^n} $$
La segunda parte es simplemente la suma de una constante:
$$ \sum_{k=1}^{n} 1 = n $$

4. Ensamblaje del resultado final:
Sustituimos ambos resultados en la expresión de $S_n$:
$$ S_n = (a-1) \left[ \frac{2^n - 1}{2^n} \right] + n $$
$$ \boxed{S_n = \frac{(a-1)(2^n - 1)}{2^n} + n} $$
La identidad ha sido demostrada satisfactoriamente.