1. Identificación del problema:
Estamos ante una serie aritmético-geométrica (AGP), donde los coeficientes forman una progresión aritmética ($1, 2, 3, \dots, n$) y las potencias de $x$ forman una progresión geométrica ($x, x^2, x^3, \dots, x^n$).

2. Desarrollo por el método de inducción matemática:

Paso base: Sea $n = 1$.
Lado izquierdo (LHS): $1x^1 = x$.
Lado derecho (RHS):
$$ \frac{x - (1+1)x^{1+1} + 1x^{1+2}}{(1-x)^2} = \frac{x - 2x^2 + x^3}{(1-x)^2} = \frac{x(1 - 2x + x^2)}{(1-x)^2} = \frac{x(1-x)^2}{(1-x)^2} = x $$
Como $LHS = RHS$, la base es verdadera.

Paso inductivo: Supongamos que es cierto para $n = k$:
$$ S_k = x + 2x^2 + \dots + kx^k = \frac{x - (k+1)x^{k+1} + kx^{k+2}}{(1 - x)^2} $$
Debemos probar que para $n = k+1$:
$$ S_{k+1} = \frac{x - (k+2)x^{k+2} + (k+1)x^{k+3}}{(1 - x)^2} $$

3. Demostración del paso inductivo:
Añadimos el término $(k+1)x^{k+1}$ a $S_k$:
$$ S_{k+1} = S_k + (k+1)x^{k+1} = \frac{x - (k+1)x^{k+1} + kx^{k+2}}{(1 - x)^2} + (k+1)x^{k+1} $$
Ponemos bajo un mismo denominador $(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$:
$$ S_{k+1} = \frac{x - (k+1)x^{k+1} + kx^{k+2} + (k+1)x^{k+1}(1 - 2x + x^2)}{(1 - x)^2} $$
Expandimos el término $(k+1)x^{k+1}(1 - 2x + x^2)$:
$$ (k+1)x^{k+1} - 2(k+1)x^{k+2} + (k+1)x^{k+3} $$
Sumamos al numerador original:
$$ \begin{array}{l} x - (k+1)x^{k+1} + kx^{k+2} + (k+1)x^{k+1} - 2(k+1)x^{k+2} + (k+1)x^{k+3} \\ = x + [-(k+1) + (k+1)]x^{k+1} + [k - 2(k+1)]x^{k+2} + (k+1)x^{k+3} \\ = x + 0 \cdot x^{k+1} + [k - 2k - 2]x^{k+2} + (k+1)x^{k+3} \\ = x - (k+2)x^{k+2} + (k+1)x^{k+3} \end{array} $$
Por lo tanto:
$$ \boxed{x + 2x^2 + \dots + nx^n = \frac{x - (n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(1 - x)^2}} $$
La identidad queda demostrada.