Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_136
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Resolver la suma de los $n$ términos:
$$ S_n = \frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} $$
$$ S_n = \frac{1}{1 \times 6} + \frac{1}{6 \times 11} + \dots + \frac{1}{(5n-4)(5n+1)} $$
Solución Paso a Paso
1. Identificación del patrón
El término general es:
$$ a_k = \frac{1}{(5k-4)(5k+1)} $$
La diferencia entre los factores del denominador es $d = 5$.
2. Procedimiento
Descomponemos el término general:
$$ a_k = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1} \right) $$
Sumamos desde $k=1$ hasta $n$:
$$ S_n = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5n-4} - \frac{1}{5n+1} \right) \right] $$
Por propiedad telescópica:
$$ S_n = \frac{1}{5} \left( 1 - \frac{1}{5n+1} \right) $$
3. Conclusión
$$ S_n = \frac{1}{5} \left( \frac{5n+1-1}{5n+1} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{5n}{5n+1} \right) $$
$$ \boxed{S_n = \frac{n}{5n+1}} $$
El término general es:
$$ a_k = \frac{1}{(5k-4)(5k+1)} $$
La diferencia entre los factores del denominador es $d = 5$.
2. Procedimiento
Descomponemos el término general:
$$ a_k = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1} \right) $$
Sumamos desde $k=1$ hasta $n$:
$$ S_n = \frac{1}{5} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{5n-4} - \frac{1}{5n+1} \right) \right] $$
Por propiedad telescópica:
$$ S_n = \frac{1}{5} \left( 1 - \frac{1}{5n+1} \right) $$
3. Conclusión
$$ S_n = \frac{1}{5} \left( \frac{5n+1-1}{5n+1} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{5n}{5n+1} \right) $$
$$ \boxed{S_n = \frac{n}{5n+1}} $$