1. Análisis del término general
Observamos que el término general $a_k$ de la serie es:
$$ a_k = \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} $$
Donde los factores del denominador están en progresión aritmética con una diferencia común $d = 3$.

2. Descomposición en fracciones parciales
Podemos expresar el término general como una diferencia de dos fracciones:
$$ \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{A}{3k-2} + \frac{B}{3k+1} $$
Multiplicando por el denominador común:
$$ 1 = A(3k+1) + B(3k-2) $$
Para hallar $A$ y $B$:

• Si $k = \frac{2}{3}$: $1 = A(3(\frac{2}{3}) + 1) \implies 1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$
• Si $k = -\frac{1}{3}$: $1 = B(3(-\frac{1}{3}) - 2) \implies 1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$

Entonces:
$$ a_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right) $$

3. Aplicación de la propiedad telescópica
La suma $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ se expande como:
$$ S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right] $$
Al ser una serie telescópica, los términos intermedios se cancelan, quedando únicamente el primero y el último:
$$ S_n = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) $$

4. Simplificación final
Realizamos la resta de fracciones:
$$ S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right) $$
Cancelando el factor 3:
$$ \boxed{S_n = \frac{n}{3n+1}} $$