1. Determinación del término general:
El término general de la suma es $a_k = (k+1)k^2$. Podemos expandirlo como:
$$ a_k = k^3 + k^2 $$

2. Aplicación de fórmulas de sumas notables:
La suma total $S_n$ es:
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2 $$
Recordamos las fórmulas estándar:
$$ \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $$
$$ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

3. Operación algebraica:
Sumamos ambas expresiones buscando un denominador común (12):
$$ S_n = \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12} $$
Factorizamos el término común $n(n+1)$:
$$ S_n = \frac{n(n+1) [ 3n(n+1) + 2(2n+1) ]}{12} $$
Expandimos el interior del corchete:
$$ 3n^2 + 3n + 4n + 2 = 3n^2 + 7n + 2 $$

4. Factorización final:
Factorizamos el trinomio $3n^2 + 7n + 2$:
$$ 3n^2 + 7n + 2 = (3n + 1)(n + 2) $$
Sustituyendo en la expresión de $S_n$:
$$ \boxed{S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}} $$