Para resolver esta sumatoria, denotaremos la suma como $S_n$. El término general de la serie es $a_k = k(k+1)(k+2)$.

1. Identificación del término general:
El $k$-ésimo término es:
$$ a_k = k(k+1)(k+2) $$

2. Uso de la propiedad de telescópica:
Podemos expresar el término general de una forma que permita simplificar la suma (propiedad de las diferencias):
$$ k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2)}{4} $$
Verificamos esta identidad:
$$ \frac{k(k+1)(k+2) \cdot [ (k+3) - (k-1) ]}{4} = \frac{k(k+1)(k+2) \cdot [ 4 ]}{4} = k(k+1)(k+2) $$

3. Desarrollo de la sumatoria:
Aplicamos la sumatoria desde $k=1$ hasta $n$:
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} [ k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) ] $$
Al expandir los términos:
$$ \begin{array}{rcl} k=1: & \frac{1}{4} [ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) - (0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3) ] \\ k=2: & + \frac{1}{4} [ (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) - (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) ] \\ \vdots & \vdots \\ k=n: & + \frac{1}{4} [ n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2) ] \end{array} $$

4. Simplificación y Resultado:
Observamos que los términos intermedios se cancelan (suma telescópica), quedando únicamente el último término de la primera parte y el primero de la segunda:
$$ S_n = \frac{1}{4} [ n(n+1)(n+2)(n+3) - 0 ] $$
$$ \boxed{S_n = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}} $$