1. Definición del término general:
El término general es $a_k = \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.

2. Descomposición por fracciones parciales:
Usamos la propiedad para productos de factores consecutivos:
$$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) $$

3. Desarrollo de la sumatoria:
Aplicamos la suma desde $k=1$ hasta $n$:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \right] \end{array} $$

4. Aplicación del método telescópico:
Los términos centrales se cancelan:
$$ \begin{array}{c} \text{Esquema de cancelación} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & \dots & \frac{1}{n(n+1)} & -\frac{1}{(n+1)(n+2)} \\ \hline \text{Queda} & \text{Anula} & \dots & \text{Anula} & \text{Queda} \\ \hline \end{array} \end{array} $$

Resultando en:
$$ S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) $$

5. Resultado final:
$$ \boxed{ S_n = \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} } $$