Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_123
Práctica de Sumatorias
Enunciado
Demostrar la siguiente igualdad:
$$ \frac{1^2}{1 \times 3} + \frac{2^2}{3 \times 5} + \dots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} $$
$$ \frac{1^2}{1 \times 3} + \frac{2^2}{3 \times 5} + \dots + \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} $$
Solución Paso a Paso
1. Análisis del término general:
El término general es $a_k = \frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}$. Notamos que el denominador es una diferencia de cuadrados: $(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$.
2. Descomposición del término:
Realizamos una manipulación algebraica para simplificar el numerador:
$$ \begin{array}{rcl} a_k & = & \displaystyle \frac{k^2}{4k^2 - 1} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( \frac{4k^2}{4k^2 - 1} \right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( \frac{4k^2 - 1 + 1}{4k^2 - 1} \right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \right) \end{array} $$
Usando fracciones parciales para el segundo término:
$$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$
Sustituyendo:
$$ a_k = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$
3. Sumatoria:
Sumamos desde $k=1$ hasta $n$:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \left[ \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right] + \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right] + \dots + \left[ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right] \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \end{array} $$
4. Simplificación algebraica:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{n}{4(2n+1)} = \frac{n(2n+1) + n}{4(2n+1)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{2n^2 + n + n}{4(2n+1)} = \frac{2n^2 + 2n}{4(2n+1)} = \frac{2n(n+1)}{4(2n+1)} \end{array} $$
5. Resultado final:
$$ \boxed{ S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} } $$
El término general es $a_k = \frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}$. Notamos que el denominador es una diferencia de cuadrados: $(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$.
2. Descomposición del término:
Realizamos una manipulación algebraica para simplificar el numerador:
$$ \begin{array}{rcl} a_k & = & \displaystyle \frac{k^2}{4k^2 - 1} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( \frac{4k^2}{4k^2 - 1} \right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( \frac{4k^2 - 1 + 1}{4k^2 - 1} \right) \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \right) \end{array} $$
Usando fracciones parciales para el segundo término:
$$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$
Sustituyendo:
$$ a_k = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$
3. Sumatoria:
Sumamos desde $k=1$ hasta $n$:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \left[ \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right] + \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right] + \dots + \left[ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right] \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \end{array} $$
4. Simplificación algebraica:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{n}{4} + \frac{1}{8} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) \\ S_n & = & \displaystyle \frac{n}{4} + \frac{n}{4(2n+1)} = \frac{n(2n+1) + n}{4(2n+1)} \\ S_n & = & \displaystyle \frac{2n^2 + n + n}{4(2n+1)} = \frac{2n^2 + 2n}{4(2n+1)} = \frac{2n(n+1)}{4(2n+1)} \end{array} $$
5. Resultado final:
$$ \boxed{ S_n = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)} } $$