Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_122
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Demostrar la siguiente igualdad para la suma de términos con factoriales:
$$ \frac{0}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!} = 1 - \frac{1}{n!} $$
$$ \frac{0}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \dots + \frac{n-1}{n!} = 1 - \frac{1}{n!} $$
Solución Paso a Paso
1. Identificación del término general:
Observamos que el k-ésimo término de la sumatoria se puede expresar como:
$$ a_k = \frac{k-1}{k!} $$
donde la suma va desde $k=1$ hasta $n$.
2. Transformación para suma telescópica:
Para facilitar el cálculo, reescribimos el numerador para separar la fracción:
$$ \begin{array}{rcl} a_k & = & \displaystyle \frac{k-1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{k}{k!} - \frac{1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{k}{k \cdot (k-1)!} - \frac{1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} \end{array} $$
3. Representación del proceso de cancelación (Efecto Telescópico):
Al sumar los términos desde $k=1$ hasta $n$, notamos que los términos intermedios se anulan entre sí:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} \right) + \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \right) \\ \hline S_n & = & \frac{1}{0!} \underbrace{ - \frac{1}{1!} + \frac{1}{1!} }_{0} \underbrace{ - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} }_{0} \dots \underbrace{ - \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} }_{0} - \frac{1}{n!} \end{array} $$
4. Resultado final:
Como $0! = 1$, la expresión se simplifica a:
$$ \boxed{ S_n = 1 - \frac{1}{n!} } $$
Observamos que el k-ésimo término de la sumatoria se puede expresar como:
$$ a_k = \frac{k-1}{k!} $$
donde la suma va desde $k=1$ hasta $n$.
2. Transformación para suma telescópica:
Para facilitar el cálculo, reescribimos el numerador para separar la fracción:
$$ \begin{array}{rcl} a_k & = & \displaystyle \frac{k-1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{k}{k!} - \frac{1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{k}{k \cdot (k-1)!} - \frac{1}{k!} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} \end{array} $$
3. Representación del proceso de cancelación (Efecto Telescópico):
Al sumar los términos desde $k=1$ hasta $n$, notamos que los términos intermedios se anulan entre sí:
$$ \begin{array}{rcl} S_n & = & \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} \right) + \left( \frac{1}{1!} - \frac{1}{2!} \right) + \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) + \dots + \left( \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} \right) \\ \hline S_n & = & \frac{1}{0!} \underbrace{ - \frac{1}{1!} + \frac{1}{1!} }_{0} \underbrace{ - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} }_{0} \dots \underbrace{ - \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-1)!} }_{0} - \frac{1}{n!} \end{array} $$
4. Resultado final:
Como $0! = 1$, la expresión se simplifica a:
$$ \boxed{ S_n = 1 - \frac{1}{n!} } $$