1. Datos:
Recordemos que $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$.
Queremos demostrar que $\sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n+1)! - 1$.

2. Paso 1: Base de la inducción ($n=1$):
Lado izquierdo: $1 \times 1! = 1 \times 1 = 1$.
Lado derecho: $(1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$.
Se cumple.

3. Paso 2: Hipótesis de inducción:
$$1 \times 1! + 2 \times 2! + \dots + k \times k! = (k+1)! - 1$$

4. Paso 3: Tesis de inducción ($n=k+1$):
Queremos probar que la suma hasta $k+1$ es:
$$S_{k+1} = ((k+1)+1)! - 1 = (k+2)! - 1$$

Sumamos el término siguiente a nuestra hipótesis:
$$S_{k+1} = \underbrace{[1 \times 1! + \dots + k \times k!]}_{S_k} + (k+1) \times (k+1)!$$
$$S_{k+1} = [(k+1)! - 1] + (k+1)(k+1)!$$

Agrupamos los términos que contienen $(k+1)!$:
$$S_{k+1} = (k+1)! + (k+1)(k+1)! - 1$$
Factorizamos $(k+1)!$:
$$S_{k+1} = (k+1)! [1 + (k+1)] - 1$$
$$S_{k+1} = (k+1)! (k+2) - 1$$

Por definición de factorial, $(k+1)! (k+2) = (k+2)!$. Entonces:
$$S_{k+1} = (k+2)! - 1$$

5. Conclusión:
La identidad es correcta por inducción.

$$ \boxed{\sum_{i=1}^{n} i \cdot i! = (n+1)! - 1} $$