1. Análisis de la serie:
El término general es $a_i = i(3i+1)$.
Queremos probar que $S_n = \sum_{i=1}^{n} i(3i+1) = n(n+1)^2$.

2. Paso 1: Base de la inducción ($n=1$):
Lado izquierdo: $1(3(1)+1) = 1(4) = 4$.
Lado derecho: $1(1+1)^2 = 1(2)^2 = 4$.
Se cumple la base.

3. Paso 2: Hipótesis de inducción:
$$1 \times 4 + \dots + k(3k+1) = k(k+1)^2$$

4. Paso 3: Tesis de inducción ($n=k+1$):
Queremos probar que $S_{k+1} = (k+1)((k+1)+1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Desarrollamos $S_{k+1}$:
$$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$$
$$S_{k+1} = k(k+1)^2 + (k+1)(3(k+1)+1)$$
$$S_{k+1} = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$$

Factorizamos $(k+1)$:
$$S_{k+1} = (k+1) \left[ k(k+1) + (3k+4) \right]$$
$$S_{k+1} = (k+1) \left[ k^2 + k + 3k + 4 \right]$$
$$S_{k+1} = (k+1) (k^2 + 4k + 4)$$

Observamos que el trinomio es un cuadrado perfecto: $k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$.
Por tanto:
$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$$

5. Conclusión:
La identidad ha sido demostrada satisfactoriamente.

$$ \boxed{\sum_{i=1}^{n} i(3i+1) = n(n+1)^2} $$