1. Simplificación inicial:
Observemos que cada término $(1 - \frac{1}{i+1})$ se puede escribir como $\frac{i+1-1}{i+1} = \frac{i}{i+1}$.
La expresión original es un producto:
$$P_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{i}{i+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \dots \frac{n}{n+1}$$

2. Paso 1: Base de la inducción ($n=1$):
Lado izquierdo: $1 - \frac{1}{1+1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Lado derecho: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
Se cumple.

3. Paso 2: Hipótesis de inducción:
Suponemos que para $n=k$:
$$\left(1 - \frac{1}{2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{k+1}$$

4. Paso 3: Tesis de inducción (probar para $n = k+1$):
Debemos demostrar que:
$$P_{k+1} = \frac{1}{(k+1)+1} = \frac{1}{k+2}$$

Partimos de $P_{k+1}$:
$$P_{k+1} = \underbrace{\left[\left(1 - \frac{1}{2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{k+1}\right)\right]}_{P_k} \cdot \left(1 - \frac{1}{k+2}\right)$$
Sustituimos la hipótesis $P_k$:
$$P_{k+1} = \frac{1}{k+1} \cdot \left(1 - \frac{1}{k+2}\right)$$
Operamos dentro del paréntesis:
$$P_{k+1} = \frac{1}{k+1} \cdot \left(\frac{k+2-1}{k+2}\right) = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{k+1}{k+2}$$
Simplificando los términos $(k+1)$:
$$P_{k+1} = \frac{1}{k+2}$$

5. Conclusión:
La identidad es válida para todo $n \ge 1$.

$$ \boxed{\prod_{i=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{i+1}\right) = \frac{1}{n+1}} $$