1. Datos del problema y definición:
Queremos demostrar que la suma de los productos de dos enteros consecutivos hasta $n$ es:
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

2. Paso 1: Base de la inducción ($n=1$):
Verificamos si la fórmula es válida para el primer término:
Lado izquierdo: $1(1+1) = 1(2) = 2$.
Lado derecho: $\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1(2)(3)}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Como $2 = 2$, la base se cumple.

3. Paso 2: Hipótesis de inducción:
Suponemos que la fórmula es válida para un número natural $k$:
$$1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$

4. Paso 3: Tesis de inducción (probar para $n = k+1$):
Debemos demostrar que:
$$S_{k+1} = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

Desarrollamos la suma $S_{k+1}$:
$$S_{k+1} = \underbrace{1 \times 2 + \dots + k(k+1)}_{S_k} + (k+1)(k+2)$$
Sustituimos $S_k$ por nuestra hipótesis:
$$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$$

Factorizamos por término común $(k+1)(k+2)$:
$$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left[ \frac{k}{3} + 1 \right]$$
$$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left[ \frac{k+3}{3} \right]$$
$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

5. Conclusión:
Dado que se cumple para $n=1$ y que la validez para $n=k$ implica la validez para $n=k+1$, la identidad queda demostrada para todo $n \in \mathbb{N}$.

$$ \boxed{1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}} $$