Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_111
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Paso 1:
Encuentre el valor mínimo de la función $f(a) = (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+10$.
Encuentre el valor mínimo de la función $f(a) = (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+10$.
Solución Paso a Paso
1. Uso del resultado anterior:
En el ejercicio anterior (MATU\_ALG\_074), determinamos que la función puede reescribirse como:
$$ f(a) = (u + 9)^2 + 1 $$
Donde $u = a^2 - 7a$.
2. Determinación del mínimo valor:
3. Verificación de la existencia de $a$:
Debemos verificar si la ecuación $a^2 - 7a + 9 = 0$ tiene soluciones reales:
$$ \Delta = (-7)^2 - 4(1)(9) = 49 - 36 = 13 $$
Como el discriminante $\Delta > 0$, existen dos valores reales de $a$ que hacen que $u = -9$.
4. Resultado final:
$$ f_{\text{mín}} = 0 + 1 = 1 $$
Representación conceptual:
$$ \begin{array}{c} \text{Estructura de la función} \\ \hline f(a) = \underbrace{(a^2-7a+9)^2}_{\ge 0} + \overbrace{1}^{\text{Desplazamiento}} \end{array} $$
El valor mínimo es:
$$ \boxed{1} $$
En el ejercicio anterior (MATU\_ALG\_074), determinamos que la función puede reescribirse como:
$$ f(a) = (u + 9)^2 + 1 $$
Donde $u = a^2 - 7a$.
2. Determinación del mínimo valor:
3. Verificación de la existencia de $a$:
Debemos verificar si la ecuación $a^2 - 7a + 9 = 0$ tiene soluciones reales:
$$ \Delta = (-7)^2 - 4(1)(9) = 49 - 36 = 13 $$
Como el discriminante $\Delta > 0$, existen dos valores reales de $a$ que hacen que $u = -9$.
4. Resultado final:
$$ f_{\text{mín}} = 0 + 1 = 1 $$
Representación conceptual:
$$ \begin{array}{c} \text{Estructura de la función} \\ \hline f(a) = \underbrace{(a^2-7a+9)^2}_{\ge 0} + \overbrace{1}^{\text{Desplazamiento}} \end{array} $$
El valor mínimo es:
$$ \boxed{1} $$