1. Agrupamiento estratégico:
Agrupamos los factores de los extremos y los medios para obtener términos comunes:
$$ E = [(a-1)(a-6)] \cdot [(a-3)(a-4)] + 10 $$
Multiplicando:
$$ E = (a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 12) + 10 $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = a^2 - 7a$. La expresión se convierte en:
$$ E = (u + 6)(u + 12) + 10 $$
Expandiendo el producto:
$$ E = u^2 + 18u + 72 + 10 = u^2 + 18u + 82 $$

3. Completando el cuadrado:
Buscamos expresar el trinomio como un cuadrado perfecto más una constante:
$$ E = (u^2 + 18u + 81) + 1 = (u + 9)^2 + 1 $$

4. Análisis de positividad:
Para cualquier $a \in \mathbb{R}$, el valor de $u$ es real, por lo tanto $(u+9)^2 \ge 0$.
Al sumar 1:
$$ (u+9)^2 + 1 \ge 1 $$
Como $E \ge 1$, entonces $E$ siempre es un número positivo.
$$ \boxed{E > 0 \text{ para todo } a \in \mathbb{R}} $$