1. Cambio de variables:
Para simplificar la expresión, definamos:
$$ x = a-b, \quad y = b-c, \quad z = c-a $$
Notemos que $x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$.

2. Expresión del lado izquierdo (LI):
$$ LI = x^2 + y^2 + z^2 $$

3. Expresión del lado derecho (LD):
Transformemos los términos del lado derecho usando $x, y, z$:

• $a+b-2c = (a-c) + (b-c) = -z + y$. Pero $x+y+z=0 \implies y-z = y - (-x-y) = x + 2y$.
  Alternativamente: $a+b-2c = (a-b) + 2(b-c) = x + 2y$.
• $b+c-2a = (b-a) + (c-a) = -x + z$. Pero $z-x = z - (-y-z) = y + 2z$.
• $c+a-2b = (c-b) + (a-b) = -y + x = x - y$. Pero $x-y = x - (-x-z) = z + 2x$.

Sustituyendo en el LD:
$$ LD = (x+2y)^2 + (y+2z)^2 + (z+2x)^2 $$
Expandiendo:
$$ LD = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (y^2 + 4yz + 4z^2) + (z^2 + 4zx + 4x^2) $$
$$ LD = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 4(xy + yz + zx) $$

4. Uso de la condición $x+y+z=0$:
Sabemos que $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) = 0$.
Por lo tanto: $2(xy+yz+zx) = -(x^2+y^2+z^2)$.
Sustituyendo en LD:
$$ LD = 5(x^2 + y^2 + z^2) + 2[2(xy + yz + zx)] = 5(x^2 + y^2 + z^2) - 2(x^2 + y^2 + z^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2) $$

5. Comparación y conclusión:
Igualamos LI y LD:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) \implies 2(x^2 + y^2 + z^2) = 0 $$
Como $x, y, z \in \mathbb{R}$, la suma de sus cuadrados es cero solo si $x=0, y=0, z=0$.
$$ a-b = 0 \implies a=b, \quad b-c = 0 \implies b=c $$
Conclusión:
$$ \boxed{a=b=c} $$