Basico
MATU • Algebra
MATU_FACT_101
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Simplificar:
$$ \frac{a+b}{(b-c)(c-a)} + \frac{b+c}{(c-a)(a-b)} + \frac{c+a}{(a-b)(b-c)} $$
$$ \frac{a+b}{(b-c)(c-a)} + \frac{b+c}{(c-a)(a-b)} + \frac{c+a}{(a-b)(b-c)} $$
Solución Paso a Paso
1. Identificación del MCM:
El denominador común para las tres fracciones es $(a-b)(b-c)(c-a)$.
2. Amplificación de fracciones:
Multiplicamos cada numerador por el factor faltante del MCM:
3. Desarrollo del numerador:
Utilizamos la diferencia de cuadrados $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$:
$$ \text{Num} = (a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) $$
Sumando los términos:
$$ \text{Num} = a^2 - a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 = 0 $$
4. Resultado final:
Dado que el numerador se anula por completo:
$$ \boxed{0} $$
El denominador común para las tres fracciones es $(a-b)(b-c)(c-a)$.
2. Amplificación de fracciones:
Multiplicamos cada numerador por el factor faltante del MCM:
- Primer término: $\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
- Segundo término: $\frac{(b+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
- Tercer término: $\frac{(c+a)(c-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
3. Desarrollo del numerador:
Utilizamos la diferencia de cuadrados $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$:
$$ \text{Num} = (a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) $$
Sumando los términos:
$$ \text{Num} = a^2 - a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 = 0 $$
4. Resultado final:
Dado que el numerador se anula por completo:
$$ \boxed{0} $$