Basico
MATU • Algebra
MATU_FACT_100
Transcripción de imagen
Enunciado
Hallar el valor simplificado de:
$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$
$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} $$
Solución Paso a Paso
1. Homogeneización de signos:
Para facilitar el cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM), ajustamos los factores para que sigan un orden cíclico $(a-b), (b-c), (c-a)$:
Sustituyendo en la expresión:
$$ \frac{1}{-(a-b)(c-a)} + \frac{1}{-(b-c)(a-b)} + \frac{1}{-(c-a)(b-c)} $$
2. Suma de fracciones:
El MCM es $(a-b)(b-c)(c-a)$. Reescribimos la suma:
$$ \frac{-(b-c) - (c-a) - (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
3. Simplificación del numerador:
Expandes y agrupas términos:
$$ \frac{-b + c - c + a - a + b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
4. Resultado final:
Cualquier fracción con numerador cero (y denominador distinto de cero) es cero.
$$ \boxed{0} $$
Para facilitar el cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM), ajustamos los factores para que sigan un orden cíclico $(a-b), (b-c), (c-a)$:
- $(a-c) = -(c-a)$
- $(b-a) = -(a-b)$
- $(c-b) = -(b-c)$
Sustituyendo en la expresión:
$$ \frac{1}{-(a-b)(c-a)} + \frac{1}{-(b-c)(a-b)} + \frac{1}{-(c-a)(b-c)} $$
2. Suma de fracciones:
El MCM es $(a-b)(b-c)(c-a)$. Reescribimos la suma:
$$ \frac{-(b-c) - (c-a) - (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
3. Simplificación del numerador:
Expandes y agrupas términos:
$$ \frac{-b + c - c + a - a + b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
4. Resultado final:
Cualquier fracción con numerador cero (y denominador distinto de cero) es cero.
$$ \boxed{0} $$