Para resolver este ejercicio, agruparemos los términos de dos en dos, comenzando por los dos primeros, aprovechando que sus denominadores son binomios conjugados $(1-a)$ y $(1+a)$.

1. Simplificación de los dos primeros términos:
$$S_1 = \frac{1}{1-a} - \frac{1}{1+a}$$
El común denominador es $(1-a)(1+a) = 1-a^2$:
$$S_1 = \frac{(1+a) - (1-a)}{1-a^2} = \frac{1+a-1+a}{1-a^2} = \frac{2a}{1-a^2}$$

2. Operamos el resultado con el tercer término:
$$S_2 = \frac{2a}{1-a^2} - \frac{2a}{1+a^2}$$
Nuevamente, los denominadores son conjugados. El común denominador es $(1-a^2)(1+a^2) = 1-a^4$:
$$S_2 = \frac{2a(1+a^2) - 2a(1-a^2)}{1-a^4} = \frac{2a+2a^3-2a+2a^3}{1-a^4} = \frac{4a^3}{1-a^4}$$

3. Operamos con el cuarto término:
$$S_3 = \frac{4a^3}{1-a^4} - \frac{4a^3}{1+a^4} = \frac{4a^3(1+a^4) - 4a^3(1-a^4)}{1-a^8} = \frac{4a^3+4a^7-4a^3+4a^7}{1-a^8} = \frac{8a^7}{1-a^8}$$

4. Operamos con el último término:
$$S_4 = \frac{8a^7}{1-a^8} - \frac{8a^7}{1+a^8} = \frac{8a^7(1+a^8) - 8a^7(1-a^8)}{1-a^{16}} = \frac{8a^7+8a^{15}-8a^7+8a^{15}}{1-a^{16}} = \frac{16a^{15}}{1-a^{16}}$$

$$ \boxed{\frac{16a^{15}}{1-a^{16}}} $$