1. Factorización:
Extraemos factor común $a$:
$$ 2a^3 + 3a^2 + a = a(2a^2 + 3a + 1) $$
Factorizamos el trinomio:
$$ a(2a + 1)(a + 1) = a(a + 1)(2a + 1) $$

2. Análisis de divisibilidad por 2:
El término $a(a+1)$ es el producto de dos números consecutivos. Uno de ellos debe ser par, por lo tanto el producto es divisible por $2$.

3. Análisis de divisibilidad por 3:
Analizamos los restos de $a$ al dividir por $3$:

• Si $a \equiv 0 \pmod 3$, entonces la expresión es divisible por $3$.
• Si $a \equiv 1 \pmod 3$, entonces $2a + 1 \equiv 2(1) + 1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$.
• Si $a \equiv 2 \pmod 3$, entonces $a + 1 \equiv 2 + 1 = 3 \equiv 0 \pmod 3$.

4. Conclusión:
Al ser divisible por $2$ y por $3$ simultáneamente, la expresión es divisible por $6$.

$$ \boxed{(2a^3 + 3a^2 + a) \vdots 6} $$