1. Análisis de la condición:
Si $\gcd(a, 6) = 1$, esto significa que $a$ no es divisible por $2$ ni por $3$.

• $a$ es impar (de la forma $2k + 1$).


• $a$ no es múltiplo de $3$ (de la forma $3m \pm 1$).

2. Divisibilidad por 8:
Como $a$ es impar, $a = 2k + 1$:
$$ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) = (2k)(2k + 2) = 4k(k + 1) $$
Dado que $k(k + 1)$ es el producto de dos números consecutivos, uno de ellos debe ser par, por lo tanto $k(k + 1)$ es divisible por $2$.
Entonces, $a^2 - 1 = 4(2 \times \text{entero}) = 8 \times \text{entero}$. La expresión es divisible por $8$.

3. Divisibilidad por 3:
Como $a$ no es múltiplo de $3$, por el Pequeño Teorema de Fermat o inspección:

• Si $a = 3m + 1 \implies a - 1 = 3m$ (divisible por 3).


• Si $a = 3m + 2 \implies a + 1 = 3m + 3$ (divisible por 3).

En cualquier caso, $(a - 1)(a + 1)$ es divisible por $3$.

4. Conclusión:
Como $(a^2 - 1)$ es divisible por $8$ y por $3$, y dado que $\gcd(8, 3) = 1$, entonces es divisible por el producto: $8 \times 3 = 24$.

$$ \boxed{(a^2 - 1) \vdots 24} $$