1. Factorización de la expresión:
Primero, extraemos el factor común $a$:
$$ a^5 - 5a^3 + 4a = a(a^4 - 5a^2 + 4) $$
Luego, factorizamos el trinomio de cuarto grado como uno de segundo grado:
$$ a(a^2 - 1)(a^2 - 4) $$
Finalmente, aplicamos diferencia de cuadrados en ambos paréntesis:
$$ a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) $$

2. Reordenamiento:
Ordenamos los factores de menor a mayor:
$$ (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) $$

3. Propiedad de números consecutivos:
Observamos que la expresión es el producto de cinco números enteros consecutivos.
Una propiedad fundamental de la teoría de números establece que el producto de $n$ números consecutivos es siempre divisible por $n!$ (n-factorial).

4. Cálculo del factorial:
Para $n = 5$:
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$

5. Conclusión:
Puesto que la expresión equivale al producto de 5 enteros consecutivos, esta es obligatoriamente divisible por $5! = 120$.

$$ \boxed{(a^5 - 5a^3 + 4a) \vdots 120} $$