1. Simplificación de la expresión
Primero, sumamos las fracciones buscando un denominador común. El mínimo común múltiplo de 12, 8 y 24 es 24.
$$ E = \frac{a}{12} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^3}{24} = \frac{2a + 3a^2 + a^3}{24} $$
Factorizamos el numerador:
$$ 2a + 3a^2 + a^3 = a(a^2 + 3a + 2) = a(a+1)(a+2) $$
La expresión queda como:
$$ E = \frac{a(a+1)(a+2)}{24} $$

2. Análisis de divisibilidad
Para demostrar que $E$ es un número entero (whole number), debemos probar que el producto de tres números consecutivos $a(a+1)(a+2)$ es divisible por 24 cuando $a$ es par.

Propiedad 1: El producto de $n$ números consecutivos siempre es divisible por $n!$. Por lo tanto, $a(a+1)(a+2)$ es divisible por $3! = 6$. Esto garantiza que el numerador es divisible por 3.

Propiedad 2: Como $a$ es par, podemos escribir $a = 2k$ para algún entero $k$. Sustituimos en el producto:
$$ a(a+1)(a+2) = (2k)(2k+1)(2k+2) = 2k(2k+1) \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)(2k+1) $$
Sabemos que $k(k+1)$ es el producto de dos números consecutivos, por lo tanto es divisible por 2. Esto implica que el producto total es divisible por $4 \times 2 = 8$.

3. Conclusión de la prueba
Hemos demostrado que:

• El numerador es divisible por 3.
• El numerador es divisible por 8.

Como 3 y 8 son primos entre sí ($\text{mcd}(3,8)=1$), el numerador es divisible por $3 \times 8 = 24$.
Por lo tanto, $\frac{a(a+1)(a+2)}{24}$ siempre resultará en un valor entero si $a$ es par.

$$ \boxed{\text{Q.E.D. (Demostrado)}} $$