1. Datos del problema y análisis inicial
Se nos pide encontrar los valores de $a$ (perteneciente a los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$) tales que el polinomio $P(a) = a^4 + 4$ resulte en un número primo.

2. Identidad de Sophie Germain
Para analizar si un número de la forma $a^4 + 4b^4$ es primo, utilizamos la identidad de Sophie Germain, la cual permite factorizar sumas de potencias de este tipo completando cuadrados:
$$ x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy) $$
En nuestro caso, tenemos $x = a$ y $y = 1$:
$$ a^4 + 4 = (a^2 + 2 + 2a)(a^2 + 2 - 2a) $$
Reordenando los términos para mayor claridad:
$$ a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 - 2a + 2) $$

3. Condición de número primo
Un número es primo si y solo si sus únicos divisores son 1 y él mismo. Por lo tanto, para que el producto de los dos factores anteriores sea un número primo, uno de los factores debe ser necesariamente igual a 1.

Analizamos los dos factores:

• Factor 1: $a^2 + 2a + 2$. Dado que $a \in \mathbb{N}$, el valor mínimo es para $a=1$: $1^2 + 2(1) + 2 = 5$. Siempre es mayor que 1.
• Factor 2: $a^2 - 2a + 2$. Debemos igualar este factor a 1:

$$ a^2 - 2a + 2 = 1 \implies a^2 - 2a + 1 = 0 $$
Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:
$$ (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1 $$

4. Verificación
Si $a = 1$:
$$ a^4 + 4 = 1^4 + 4 = 5 $$
Como 5 es un número primo, el valor hallado es correcto. Para cualquier otro valor de $a > 1$, ambos factores $(a^2 + 2a + 2)$ y $(a^2 - 2a + 2)$ serán mayores que 1, resultando en un número compuesto.

Conclusión:
El único valor natural que satisface la condición es:
$$ \boxed{a = 1} $$