1. Identificación del tipo de polinomio:
Se trata de un polinomio recíproco de grado 4 (los coeficientes son simétricos: 1, 2, 3, 2, 1).

2. Método de resolución:
Dividimos y multiplicamos por $a^2$ para facilitar la visualización:
$$ a^2 \left( a^2 + 2a + 3 + \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2} \right) $$
Agrupamos términos simétricos:
$$ a^2 \left[ \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) + 2 \left( a + \frac{1}{a} \right) + 3 \right] $$

3. Cambio de variable:
Sea $x = a + \frac{1}{a}$. Entonces $x^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$, de donde $a^2 + \frac{1}{a^2} = x^2 - 2$.
Sustituimos en la expresión:
$$ a^2 [ (x^2 - 2) + 2x + 3 ] = a^2 (x^2 + 2x + 1) $$

4. Factorización del trinomio:
Reconocemos un binomio al cuadrado:
$$ a^2 (x + 1)^2 $$

5. Retorno a la variable original:
Sustituimos $x = a + \frac{1}{a}$:
$$ a^2 \left( a + \frac{1}{a} + 1 \right)^2 = \left[ a \left( a + \frac{1}{a} + 1 \right) \right]^2 $$
$$ = (a^2 + 1 + a)^2 $$

Resultado:
$$ \boxed{(a^2 + a + 1)^2} $$